ζ-Lab

Riemann Hypothesis Research Apparatus
ζ(s) = Σ n⁻ˢ  |  ℜ(s) > 1
SYSTEM ACTIVE — 数値精度: float64 v2.0 | 非自明零点探索モード
ζ リーマンゼータ関数 CORE
// s = σ + it を入力して ζ(s) を数値計算 // 臨界線上 σ=0.5 の第1零点: t ≈ 14.134725
η ディリクレ η 関数 ALT
η(s) = (1-2¹⁻ˢ)ζ(s) — 交代ゼータ関数。σ>0 で収束。臨界帯の解析に有用。
// η(s) = Σ (-1)^(n-1) n^(-s) // ζ(s) の解析接続に利用可能
📊 ζ(s) 複素平面マップ
|ζ(σ+it)| のヒートマップ。暗い領域が零点付近。臨界線 σ=0.5 を白線で表示。
📈 臨界線 ζ(1/2 + it) プロット CRITICAL
Re[ζ(1/2+it)]（青）と Im[ζ(1/2+it)]（赤）をプロット。両方が同時に0になる点が非自明な零点。 RH: すべての非自明な零点は σ=1/2 上にある。
🌀 Z(t) — ハーディのZ関数
Z(t) = e^{iθ(t)} ζ(1/2+it) は実数値関数。Z(t)の符号変化 → ζ(1/2+it)=0 の証拠。 リーマン-ジーゲル公式による近似。
🎯 非自明零点サーチ HUNT
// Z(t)の符号変化を検出して零点を二分探索で絞り込み // σ=1/2 上の非自明零点 t_n を列挙 // 既知: t₁≈14.1347, t₂≈21.0220, t₃≈25.0109, ...
📐 N(T) — 零点計数関数
// N(T) = 0 < Im(ρ) < T を満たす非自明零点の数 // リーマン-フォン・マンゴルト公式: // N(T) ≈ (T/2π)ln(T/2πe) + 7/8 + S(T) // S(T) = (1/π) arg ζ(1/2+iT)
✅ RH 検証パネル
// 指定した s=σ+it で |ζ(s)| を計算 // |ζ(s)| < ε なら零点の候補 // RH: σ=0.5 以外で |ζ(s)|≈0 が見つからないことを確認
🔢 π(x) 素数計数関数 PRIME
// π(x): x以下の素数の個数 // 素数定理: π(x) ~ x/ln(x) // リーマン近似: π(x) ≈ Li(x) - Σ Li(x^ρ) - ln2 + ∫...
∫ Li(x) 対数積分 PNT
// Li(x) = ∫₂ˣ dt/ln(t) // 素数定理: π(x) ~ Li(x) // |π(x) - Li(x)| の大きさが RH と深く関連
📊 π(x) vs Li(x) vs x/ln(x) 比較グラフ
π(x)（実際の素数計数）、Li(x)（対数積分近似）、x/ln(x)（素数定理粗近似）の比較。 RH が真 ⇔ |π(x)-Li(x)| = O(√x ln x)
∏ オイラー積表現 EULER
// ζ(s) = ∏_p (1 - p^(-s))^(-1) (σ > 1) // 素数 p を増やして部分積が ζ(s) に収束する様子を観察 // ζ(2) = π²/6 ≈ 1.6449340...
📈 部分オイラー積の収束
部分オイラー積 ∏_{p≤P} (1-p^(-s))^(-1) が ζ(s) に収束する過程を可視化。
μ メビウス関数 μ(n)
// μ(n): n が平方因子を持つ → 0 // n が k 個の異なる素因数 → (-1)^k // メルテンス関数 M(x) = Σ_{n≤x} μ(n) // RH ⟺ M(x) = O(x^{1/2+ε})
Λ フォン・マンゴルト関数 Λ(n)
// Λ(n) = ln(p) if n=p^k, else 0 // -ζ'(s)/ζ(s) = Σ Λ(n) n^(-s) // ψ(x) = Σ_{n≤x} Λ(n) ≈ x (素数定理)
📊 M(x) メルテンス関数 & ψ(x) チェビシェフ関数
M(x) = Σμ(n): メルテンス予想（|M(x)|<√x）は反例あり（Odlyzko-te Riele 1985）だが、 RH ⟺ M(x) = O(x^{1/2+ε})。ψ(x) ≈ x は素数定理と同値。